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自從昨天寫完物理科試題解答，館主就不斷接到訊息，希望能幫
他們分析其他科目考試－以下是我們對話略記：
「天哪～不能去問你們補習班老師嗎？」
「不行啊！老師要下個禮拜三才有課，而且老師平常都教一些死
硬公式，不像你這邊會教從生活方面去思考的～拜託解析一下
咩！」
嗯～果然，聽他一講，館主不禁想起以前陪家教學生去補習班聽
一堂數學課情形。
我一直很深刻記得，那個補習班老師教一個怪異的「同音口訣」
，讓大家去背誦隸美弗公式。
加了很多口語的髒話加深記憶。嗯..或許不錯！所有同學一定都
會對此公式印象深刻..可是他們是否有想過，這一群學生，對於
「複變函數的高次方」理解，永遠都是那個怪異口訣公式呢？這
群學生可能永遠都無法體會隸美弗公式之美！
可是話又說回來，他們或許也只是要暫時找到個考試的方法，老
實說也並沒啥錯。但是無論如何，我認為了解數學、物理這些學
科。最重要的還是「觀念上的理解」吧！
為了能更加散佈這樣的概念，因此我們今天同樣的，使用「觀念
」來解析這次的數學題目。希望能做到
1.避免使用各種死硬的公式
2.每一題均給予詳解，儘可能都使用數學概念解題
3.藉由解題過程，盡量讓大家理解，數學與我們周圍生活的關係
98大學指考數學科試題可以在此連結下載：
那就讓我們開始吧！以下為題解分析、每題都有詳細解題過程
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第一題
數學教科書所附的對數表中， log 4.34 = 0.6375、log 4.35 = 0.6385。根據log 4.34和
log 4.35的查表值以內插法求log 4.342，設求得的值為p，則下列哪一個選項是
正確的？
(1) P = (1/2)(0.6375 0.6385)
(2) p = 0.2× 0.6375 + 0.8× 0.6385
(3) p = 0.8× 0.6375 + 0.2× 0.6385
(4) p = 0.6375 + 0.002
(5) p = 0.6385− 0.002
嗯..連題目都要你用「內插法」，果然是填鴨式的教育，似乎要
大家死硬去記啥是「內插法」了～
其實老話一句！理解最重要！
讓我們想想，為什麼要用到所謂內插法，古代數學家，要計算一
個數值是十分困難的。比方說已知log2和log1，要求 log 1.5 是
多少，在沒有計算機情況下，需要用一些「方法」來求。
當然，他們知道log1.5界在log2跟log1中間，那要怎麼求大略呢？
聰明的你應能想到，他大略值就是 (log2 + log1 )/2
因為都假設在"中間"了嘛！
這方法很笨，卻已經足以幫數學家估算這些大略的值。
好～回來看這一題，題目也很類似，已知log 4.34、log 4.35
要算的是他們之間的log 4.342
我們同樣可以假設要求的答案在log4.34~log4.35之間。
可是別忘了4.342還要更靠近4.34呢！因此可不能把兩個加起來平
均就算了，還要考慮靠近程度呢！
4.34 -- 4.342 -------- 4.35
將之畫在數線上，可以發現，要算數值，最直覺方法就是使用加權
平均概念，也就是假設答案有更多權重是受4.34影響的。因此我們
就可以大膽假設：
log 4.342 ~= 0.8 * LOG 4.34 + 0.2 * LOG 4.35 (給4.34更多權重)
於是答案選3
好，我知道有人可能要罵，我寫這麼多文字，搞不好你的老師只跟
你說一個公式就把這題解了。可是相信我，如果你足夠了解以上文
字，概念充足，你絕對是「秒殺」這一題。而且不用記任何公式！
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第二題：
擲一均勻硬幣， 若連續三次出現同一面就停止。設：
a 為恰好投擲三次停止的機率；
b 為在第一次是反面的情況下， 恰好在第四次停止的條件機率；
c 為在第一、二次都是反面的情況下， 恰好在第五次停止的條件機率。
則下列哪一個選項是正確的？
(1) a = b = c
(2) a > b > c
(3) a < b < c
(4) a < b = c
(5) a > b = c
看到這一題，你就要去想「要變成某個情況，需要發生什麼事情
」，接著在去算機率就對啦！
a:恰好投三次停止=連續三次出現同一面=
第一次投出哪一面不管，第二次又投出這一面(1/2)、第三次還是該面(1/2)
機率就是1/2 * 1/2 = 1/4
b:第一次投反面機率 = 1/2
第一次投反面，第二次投哪一面不管、但第三第四次又跟第二
次相同，機率=1/8，所以條件機率是1/4....？
別中招了！仔細想想第二次投哪一面能不管嗎？想著..第二次
也投反面，第三次還是投反面.....這時候遊戲就要結束了！
因此第二次只能投正面！！想通後就容易了～第一次投反面
、第二次正面、第三次正面、第四次正面才能合乎題意。其
機率就是1/2 X 1/2 X 1/2 X 1/2 = 1/16，所以條件機率就
是 (1/16) / (1/2) ＝ 1/8
c同上，需發生事件為第一次二次反面，三四五次都正面。
條件機率就是 (1/32) / (1/4) = 1/8
所以答案選5
這一題單純記條件機率公式的會死很難看，有沒有一點感覺了？
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第三題：
複數Z1= cos(PI/4) + i sin(PI/4)
Z2= cos(PI/3) + i sin(PI/3)
與它們的乘積z1 x z2 在複數平面上對應的點分別為P、Q與R。
則角QPR等於下列哪一個選項？
(1)PI/12
(2)PI/10
(3)PI/9
(4)PI/8
(5)PI/6
我感覺已經聽到死記隸美弗公式的同學哀嚎了..這一題無論如何
都要對複數圖形有一定了解。這兩個複數z1,z2，顯然都在單位
圓上。
接著要知道，複數的相乘，結果相當於兩者的角度相加。（為什
麼呢？這又要牽扯到尤拉的發現以及E的定義。有興趣深入了解
的請用msn詢問）
於是知道 Z1角度 = PI/4 = 45度
Z2角度 = PI/3 = 60度
Z1xZ2角度 = PI/3+PI/4 = 105度
畫出圖來
∠QPR = ∠QPO - ∠RPO 又很快注意到QPO RPO都是等腰三角形的底角
= (180-15) /2 - (180-60)/2
= 45/2 度 = PI/8
答案選4
老實說這一題沒有足夠的幾何理解能力還無法解出吧
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第四題
設a , b為實數。如果空間中某一平面通過(a,0,0) , (0,b,0) , (0,0,3) , (1,2,3)這些點，則
下列哪些選項是正確的？
(1) a , b 有可能都是正數
(2) a , b 有可能是一個正數一個負數
(3) a , b 有可能都是負數
(4) a , b 有可能只有一個等於0
我們用最直覺方法來土法煉鋼
所有平面方程式都可以表示為 Ax+By+Cz = D
通過0,0,3 => 3C=D
通過a,0,0 => aA = D
通過0,b,0 => bB = D
通過1,2,3 => A+2B+3C=D → A+2B=0 → abA + 2abB = 0
→ bD+2aD=0 → (2a+b)D = 0
→2a+b=0 or D=0
若D=0，則 C=0 aA=0 bB=0但我們又知道A=-2B，若AorB其中一個為0，原平面立刻縮成一個點，不合理
那只有個可能就是a=b=0
若2a+b=0，則2a=-b，表示必定是一正一負或兩者皆為0
綜合以上結論，只有2合乎我們答案
請注意我們完全使用土法煉鋼，啥行列式向量式放一邊去吧！
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第五題
在坐標空間中， 一正立方體的八個頂點分別為(0,0,0) 、(1,0,0) 、(1,1,0) 、(0,1,0) 、
(0,0,1) 、(1,0,1) 、(1,1,1) 與(0,1,1) 。若A、B 分別為此正立方體兩稜邊的中點， 則
向量AB可能為下列哪些選項？
(1) (1,0,0)
(2) (1/2 ,0,0)
(3) (1/2 , 0,1)
(4) (0,1/2 ,1/2 )
請在腦中構築一個正立方體，接著想它菱邊中點有哪些...
分別為上面四個：(0,1/2,1) (1/2,0,1) (1,1/2,1) (1/2,1,1)
中間四個：(0,0,1/2) (0,1,1/2) (1,0,1/2) (1,1, 1/2)
下面四個：(0,1/2,0) (1/2,0,0) (1,1/2,0) (1/2,1,0)
因此能取的向量分別為（簡單兩兩相減就好）
(±1/2,±1/2,0) (±1/2,0,±1/2) (0,±1/2,±1/2)
(1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)
剛開始列會較辛苦，但是很快可以找出規律，於是就選答案1,4
其實你仔細觀察，就可發現可以連結的向量，除了三個單位向量
外，所有斜邊向量，至少都是兩個1/2(正負不限)，如果你能理解
為什麼表示你空間概念也一定強度。到這個強度基本上也能秒殺
這題了。
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第六題
設y = f (x)是一個實係數四次多項式，其函數圖形在(−1,2)和(1,2)各有一個反曲
點，且知在(−1,2)和(1,2)此函數圖形切線的斜率分別為1 和−1，則下列哪些選
項是正確的？
(1) x +1是f "(x)的因式
(2) f'(x)的常數項不等於零
(3) f'(−x) = − f '(x)
(4) f (x)的首項係數是1
又到了土法煉鋼的時間啦！看到四次多項式，直接列式:
ax^4+ bx^3+ cx^2+ dx + e = 0
微分兩次變成 12ax^2 +6b x + 2c
代入x=-1 x=1 可得 12a-6b+2c = 0
12a+6b+2c = 0 → b=0 6a+c=0
即f(x) = ax^4 +cx^2 +dx +e =0
微分: f'(x) = 4ax^3 + 2cx +d
代入 x=-1 x=1 可得 -4a-2c+d =1
4a+2c+d = -1 →d=0 2a+c =(-1/2)
由上兩式可推出 a = 1/8 c=-3/4
於是f"(x) = -3/2 x^2 - 3/2 -> f("-1)=0 -> 有x+1因式
f'(x) = (-1/2)x^3 -(3/2)x ->常數項為0 、 f'(x)為奇函數
f(x)首項為1/8，當然不是1
綜合以上，選答案1,3
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第七題
已知丟某枚銅板， 其出現正面的機率為p，出現反面的機率為(1− p)，將此枚
銅板丟擲n 次， 在丟擲過程中， 正面第一次出現時， 可得獎金1 元， 正面第二
次出現時，可再得獎金2 元，正面第三次出現時，可再得獎金3 元，以此類推。
試問下列哪些選項是正確的？
(1) 若n 次丟擲中出現正面k 次， 總共得到獎金(1/2)(k^2-k)
(2) 丟擲銅板第二次之後， 累計得獎金1 元的機率為 2 ( p − p^2 )
(3) 總共得到獎金2 元的機率為(n(n-1)/2)p^2(1-p)^(n-2)
(4) 總共得到獎金(1/2)(n^2-n) 元的機率為n ( p^(n-1)-p^n)
別看到答案這麼複雜就害怕，我們就從選項開始一個一個挑。
首先，若n次丟擲中出現正面k次，則可得獎金即為 1 + 2 + 3 +...+k = k(k+1)/2
(1)顯然不合
其次，丟擲第二次後，得到獎金1圓的可能為「正反」、「反正」，機率即p(1-p)*2，故選(2)
再來，總共得獎金2圓的機率為０，因為總獎金必為1,3,6....(3)不選
最後，得到獎金(1/2)(n^2-n)，表示正面有n-1次（請比較選項1推的式子）
這就代表僅有一次出現反面，其機率即為 (n) p^(n-1) * (1-p)
(最前面n為C n取n-1 p^(n-1)表示出現n-1次正面機率 (1-p)為唯一那次反面的機率)
故(4)合乎答案
是故答案即為2 4
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選填題Ａ：
畫個圖會更容易理解，觀念都是一樣，底端距離長度是固定的，
也就是假設第一次量測點為Ｄ，第二次量測點為Ｅ，旗竿底端分
別為A和B，並設旗竿長度分別為a, b
則要用的就是AD+BD=AE+BE
即 a cot 29+b cot 15 = a cot 26 + b cot 19
不彷假設 b= 1 則
a = (cot 19- cot 15)/(cot 29-cot 26) = (2.90-3.73)/(1.80-2.05)
=0.83/ 0.25 = 0.83*4 = 3.32
選 3 3
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選擇題Ｂ：
４９ａ
３７ｂ
變
２８ ６３ ７ａ
２７ ６３ ９ｂ
（第一列減第二列）變
１ ０ ７ａ－９ｂ
３ ７ ｂ
（第二列減第一列＊３）變
１ ０ ７ａ－９ｂ
０ ７ ２８ｂ－２１ａ
簡化
１ ０ ７ａ－９ｂ
０ １ ４ｂ－３ａ
比照原式即
7a-9b = 1 or 21a-27b=3
4b-3a = 1 or 28b-21a=7
可得 b =10 and a= 13
答案即為1 3 1 0
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填充題Ｃ
如果能理解△PBC是一個邊長分別為3,4,5的直角三角形，這題上可以基本秒殺
COS(∠ABP) = cos(60-∠PBC)
= cos60 cos∠PBC + sin60 sin∠PBC
= 0.5 * 4/5 + √(3)/2 * 3/5
= 0.4 + 0.5196 = 0.9196 ~= 0.92
答案即為9 2
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非選擇題詳解：<本解答僅供參考>
一、顯然Ｒ為一個以原點為圓心，半徑為2的圓，在Y>=1的部分區域
依照線性規劃，x+y的極值必出現在此區域邊線上
則：
在Y=1的邊線上，x+y最大值為最右端的點，
座標為(√3,1)，x+y=√3+1
最小值為最左端的點
座標為(-√3,1)，x+y=-√3+1
而在x^2+y^2=4的邊線上，x+y極值出現在座標(√2,√2)，即x+y=2√2
又(2√2)>(√3+1)
因此最大值為2√2、最小值為 1-√3
補充：如果你觀念夠好，其實你可以想像一條X+Y的直線在座標軸上平行移動，
越右上角他的值越高，越左下角他的值越低，則最大值即出現在此直線往右上角
移到區域盡頭的點，會合點即(√2,√2)，平移到最左下角會合點極為(-√3,1)
二、
(1)
令g(x)=∫f(x) dx
依照微積分基本定理 g'(x)=f(x)
令g'(x)=f(x)=0 得x=1 or 0
g"(x)=-4x^3+3x^2-2x+1 =>g"(1)=-2 g"(0)=1
即x=1時候g(x)會有最大值 x=0時候g(x)會有最小值
定積分∫f(x) dx（上底b 下底a）= g(b)-g(a) 要求最大值，令g(b)最大、g(a)最小即可
即b=1 a=0
代入g(1)-g(0)即可算得最大值為(13/60)
(2)
個人認為直接求解會比較快而直接
∫f(x)dx=(-1/5)x^5+(1/4)x^4-(1/3)x^3+(1/2)x^2+const
即定積分∫f(x)dx(+c~-c)=(-2/5)c^5-(2/3)c^3
=-(c^3)( (2/5) c^2 + (2/3) )
顯然c^3>0 (2/5)c^2+2/3>(2/3)>0
是故此值恆為負值
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綜合觀之，此次數學甲試題，整體程度算是中等。
而且不同於往年，非常注重幾何以及微積分，反倒是數論、多項
式題型都偏少。
個人感覺很多題都必須要有平面圖形概念乃至空間圖形概念，這
部分一直都是很重「觀念」且難以「背多分」（套一個背誦的公
式就直接答出）。
以館主家教經驗而言，這部分正是學生們的弱項，建議若有教育
者聞此篇文章，可思考「如何以圖形讓學生了解數學」的思維。
也歡迎對題目解答過程不了解、或是想要知道認一部分的進階知
識、如何以圖形概念理解題目乃至快速作答。歡迎留言或加館主
ＭＳＮ告知。更歡迎學界交流。
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