----------------------------

自從昨天寫完物理科試題解答,館主就不斷接到訊息,希望能幫
他們分析其他科目考試-以下是我們對話略記:

 

「天哪~不能去問你們補習班老師嗎?」

「不行啊!老師要下個禮拜三才有課,而且老師平常都教一些死
 硬公式,不像你這邊會教從生活方面去思考的~拜託解析一下
 咩!」

 

嗯~果然,聽他一講,館主不禁想起以前陪家教學生去補習班聽
一堂數學課情形。

我一直很深刻記得,那個補習班老師教一個怪異的「同音口訣」
,讓大家去背誦隸美弗公式

加了很多口語的髒話加深記憶。嗯..或許不錯!所有同學一定都
會對此公式印象深刻..可是他們是否有想過,這一群學生,對於

「複變函數的高次方」理解,永遠都是那個怪異口訣公式呢?這
群學生可能永遠都無法體會隸美弗公式之
美!


可是話又說回來,他們或許也只是要暫時找到個考試的方法,老

實說也並沒啥錯。但是無論如何,我認為了解數學、物理這些學
科。最重要的還是「觀念上的理解」吧!

 

為了能更加散佈這樣的概念,因此我們今天同樣的,使用「觀念
」來解析這次的數學題目。希望能做到
1.避免使用各種死硬的公式
2.每一題均給予詳解,儘可能都使用數學概念解題
3.藉由解題過程,盡量讓大家理解,數學與我們周圍生活的關係


98大學指考數學科試題可以在此連結下載:

大學入學考試中心

 

 

那就讓我們開始吧!以下為題分析、每題都有詳細解題過程
----------------------------
第一題

數學教科書所附的對數表中, log 4.34 = 0.6375、log 4.35 = 0.6385。根據log 4.34和
log 4.35的查表值以內插法求log 4.342,設求得的值為p,則下列哪一個選項是
正確的?
(1) P =  (1/2)(0.6375 0.6385)
(2) p = 0.2× 0.6375 + 0.8× 0.6385
(3) p = 0.8× 0.6375 + 0.2× 0.6385
(4) p = 0.6375 + 0.002
(5) p = 0.6385− 0.002

嗯..連題目都要你用「內插法」,果然是填鴨式的教育,似乎要
大家死硬去記啥是「內插法」了~

其實老話一句!理解最重要!

讓我們想想,為什麼要用到所謂內插法,古代數學家,要計算一
個數值是十分困難的。比方說已知log2和log1,要求 log 1.5 是
多少,在沒有計算機情況下,需要用一些「方法」來求。

當然,他們知道log1.5界在log2跟log1中間,那要怎麼求大略呢?
聰明的你應能想到,他大略值就是 (log2 + log1 )/2
因為都假設在"中間"了嘛!

這方法很笨,卻已經足以幫數學家估算這些大略的值。
好~回來看這一題,題目也很類似,已知
log 4.34、log 4.35
要算的是他們之間的log 4.342

我們同樣可以假設要求的答案在log4.34~log4.35之間。
可是別忘了4.342還要更靠近4.34呢!因此可不能把兩個加起來平
均就算了,還要考慮靠近程度呢!

4.34 -- 4.342 -------- 4.35

將之畫在數線上,可以發現,要算數值,最直覺方法就是使用加權
平均概念,也就是假設答案有更多權重是受4.34影響的。因此我們
就可以大膽假設:
log 4.342 ~= 0.8 * LOG 4.34 + 0.2 * LOG 4.35 (給4.34更多權重)

於是答案選3

好,我知道有人可能要罵,我寫這麼多文字,搞不好你的老師只跟
你說一個公式就把這題解了。可是相信我,如果你足夠了解以上文
字,概念充足,你絕對是「秒殺」這一題。而且不用記任何公式!

----------------------------

第二題:

擲一均勻硬幣, 若連續三次出現同一面就停止。設:
a 為恰好投擲三次停止的機率;
b 為在第一次是反面的情況下, 恰好在第四次停止的條件機率;
c 為在第一、二次都是反面的情況下, 恰好在第五次停止的條件機率。
則下列哪一個選項是正確的?
(1) a = b = c
(2) a > b > c
(3) a < b < c
(4) a < b = c
(5) a > b = c

看到這一題,你就要去想「要變成某個情況,需要發生什麼事情
」,接著在去算機率就對啦!
a:恰好投三次停止=連續三次出現同一面=

 第一次投出哪一面不管,第二次又投出這一面(1/2)、第三次還是該面(1/2)
   機率就是1/2 * 1/2 = 1/4

b:第一次投反面機率 = 1/2
   第一次投反面,第二次投哪一面不管、但第三第四次又跟第二
 次相同,機率=1/8,所以條件機率是1/4....?


 別中招了!仔細想想第二次投哪一面能不管嗎?想著..第二次
 也投反面,第三次還是投反面.....這時候遊戲就要結束了!

 因此第二次只能投正面!!想通後就容易了~第一次投反面
 、第二次正面、第三次正面、第四次正面才能合乎題意。其
 機率就是1/2 X
1/2 X 1/2 X 1/2  = 1/16,所以條件機率就
 是 (1/16) / (1/2)
1/8

c同上,需發生事件為第一次二次反面,三四五次都正面。
 條件機率就是 (1/32) / (1/4) = 1/8

 所以答案選5

這一題單純記條件機率公式的會死很難看,有沒有一點感覺了?

----------------------------

第三題:

複數Z1= cos(PI/4) + i sin(PI/4)
      Z2= cos(PI/3) + i sin(PI/3)

與它們的乘積z1 x z2 在複數平面上對應的點分別為P、Q與R。
則角QPR等於下列哪一個選項?
(1)PI/12
(2)PI/10
(3)PI/9
(4)PI/8
(5)PI/6

我感覺已經聽到死記隸美弗公式的同學哀嚎了..這一題無論如何
都要對複數圖形有一定了解。這兩個複數z1,z2,顯然都在單位
圓上。

接著要知道,複數的相乘,結果相當於兩者的角度相加。(為什
麼呢?這又要牽扯到尤拉的發現以及E的定義。有興趣深入了解
的請用msn詢問)
於是知道 Z1角度 = PI/4 = 45度
               Z2角度 = PI/3  = 60度
              Z1xZ2角度 = PI/3+PI/4 = 105度

畫出圖來

1.JPG

∠QPR = QPO - RPO   又很快注意到QPO RPO都是等腰三角形的底角

          =  (180-15) /2 - (180-60)/2

          = 45/2 度 = PI/8

答案選4

老實說這一題沒有足夠的幾何理解能力還無法解出吧

----------------------------

第四題

設a , b為實數。如果空間中某一平面通過(a,0,0) , (0,b,0) , (0,0,3) , (1,2,3)這些點,則
下列哪些選項是正確的?
(1) a , b 有可能都是正數
(2) a , b 有可能是一個正數一個負數
(3) a , b 有可能都是負數
(4) a , b 有可能只有一個等於0

我們用最直覺方法來土法煉鋼

所有平面方程式都可以表示為 Ax+By+Cz = D

通過0,0,3 => 3C=D
通過a,0,0 => aA = D
通過0,b,0 => bB = D
通過1,2,3 => A+2B+3C=D → A+2B=0 → abA + 2abB = 0

→ bD+2aD=0  → (2a+b)D = 0
→2a+b=0 or D=0

若D=0,則 C=0  aA=0 bB=0但我們又知道A=-2B,若AorB其中一個為0,原平面立刻縮成一個點,不合理
那只有個可能就是a=b=0

若2a+b=0,則2a=-b,表示必定是一正一負或兩者皆為0

綜合以上結論,只有2合乎我們答案
請注意我們完全使用土法煉鋼,啥行列式向量式放一邊去吧!

----------------------------

第五題

在坐標空間中, 一正立方體的八個頂點分別為(0,0,0) 、(1,0,0) 、(1,1,0) 、(0,1,0) 、
(0,0,1) 、(1,0,1) 、(1,1,1) 與(0,1,1) 。若A、B 分別為此正立方體兩稜邊的中點, 則
向量AB可能為下列哪些選項?
(1) (1,0,0)
(2) (1/2 ,0,0)
(3) (1/2 , 0,1)
(4) (0,1/2 ,1/2 )

請在腦中構築一個正立方體,接著想它菱邊中點有哪些...

分別為上面四個:(0,1/2,1) (1/2,0,1) (1,1/2,1) (1/2,1,1)

         中間四個:(0,0,1/2) (0,1,1/2) (1,0,1/2) (1,1, 1/2)

         下面四個:(0,1/2,0) (1/2,0,0) (1,1/2,0) (1/2,1,0)

因此能取的向量分別為(簡單兩兩相減就好)

(±1/2,±1/2,0) (±1/2,0,±1/2) (0,±1/2,±1/2)
(1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)

剛開始列會較辛苦,但是很快可以找出規律,於是就選答案1,4

其實你仔細觀察,就可發現可以連結的向量,除了三個單位向量
外,所有斜邊向量,至少都是兩個1/2(正負不限),如果你能理解
為什麼表示你空間概念也一定強度。到這個強度基本上也能秒殺
這題了。

----------------------------

第六題

設y = f (x)是一個實係數四次多項式,其函數圖形在(−1,2)和(1,2)各有一個反曲
點,且知在(−1,2)和(1,2)此函數圖形切線的斜率分別為1 和−1,則下列哪些選
項是正確的?
(1) x +1是f "(x)的因式
(2) f'(x)的常數項不等於零
(3) f'(−x) = − f '(x)
(4) f (x)的首項係數是1

又到了土法煉鋼的時間啦!看到四次多項式,直接列式:

ax^4+ bx^3+ cx^2+ dx + e = 0

微分兩次變成 12ax^2 +6b x + 2c

代入x=-1 x=1 可得  12a-6b+2c = 0
                                12a+6b+2c = 0 → b=0  6a+c=0

 

即f(x) = ax^4 +cx^2 +dx +e =0

微分: f'(x) = 4ax^3 + 2cx +d
代入
x=-1 x=1 可得 -4a-2c+d =1

                              4a+2c+d = -1  →d=0  2a+c =(-1/2)

由上兩式可推出 a = 1/8  c=-3/4

於是f"(x) = -3/2 x^2 - 3/2 -> f("-1)=0 -> 有x+1因式

  f'(x) = (-1/2)x^3 -(3/2)x  ->常數項為0 、 f'(x)為奇函數

  f(x)首項為1/8,當然不是1
綜合以上,
選答案1,3

----------------------------

第七題

已知丟某枚銅板, 其出現正面的機率為p,出現反面的機率為(1− p),將此枚
銅板丟擲n 次, 在丟擲過程中, 正面第一次出現時, 可得獎金1 元, 正面第二
次出現時,可再得獎金2 元,正面第三次出現時,可再得獎金3 元,以此類推。
試問下列哪些選項是正確的?
(1) 若n 次丟擲中出現正面k 次, 總共得到獎金(1/2)(k^2-k)
(2) 丟擲銅板第二次之後, 累計得獎金1 元的機率為 2 ( p − p^2 )
(3) 總共得到獎金2 元的機率為(n(n-1)/2)p^2(1-p)^(n-2)
(4) 總共得到獎金(1/2)(n^2-n) 元的機率為n ( p^(n-1)-p^n)

別看到答案這麼複雜就害怕,我們就從選項開始一個一個挑。

首先,若n次丟擲中出現正面k次,則可得獎金即為 1 + 2 + 3 +...+k = k(k+1)/2 
(1)顯然不合

其次,丟擲第二次後,得到獎金1圓的可能為「正反」、「反正」,機率即p(1-p)*2,故選(2)

 

再來,總共得獎金2圓的機率為0,因為總獎金必為1,3,6....(3)不選

 

最後,得到獎金(1/2)(n^2-n),表示正面有n-1次(請比較選項1推的式子)

這就代表僅有一次出現反面,其機率即為 (n)  p^(n-1) * (1-p)

(最前面n為C n取n-1   p^(n-1)表示出現n-1次正面機率 (1-p)為唯一那次反面的機率)

故(4)合乎答案

是故答案即為2 4

----------------------------

選填題A:

畫個圖會更容易理解,觀念都是一樣,底端距離長度是固定的,
也就是假設第一次量測點為D,第二次量測點為E,旗竿底端分
別為A和B,並設旗竿長度分別為a, b

則要用的就是AD+BD=AE+BE

即 a cot 29+b cot 15 = a cot 26 + b cot 19

不彷假設 b= 1 則 

a = (cot 19- cot 15)/(cot 29-cot 26) = (2.90-3.73)/(1.80-2.05)

   =0.83/ 0.25 = 0.83*4 = 3.32

選 3   3

----------------------------

選擇題B:

49a

37b   

28 63 7a

27 63 9b

(第一列減第二列)變

1 0 7a-9b

3 7 b

(第二列減第一列*3)

1 0 7a-9b

0 7 28b-21a 

簡化

1 0 7a-9b

0 1 4b-3a

比照原式即

7a-9b = 1   or 21a-27b=3
4b-3a = 1   or 28b-21a=7  

可得 b =10   and   a= 13

答案即為1  3  1  0

----------------------------

填充題C

如果能理解△PBC是一個邊長分別為3,4,5的直角三角形,這題上可以基本秒殺

COS(∠ABP) = cos(60-∠PBC)

                   = cos60 cos∠PBC + sin60 sin∠PBC

 

       = 0.5 * 4/5 + √(3)/2 * 3/5

                   = 0.4 + 0.5196 = 0.9196 ~= 0.92

答案即為9 2

----------------------------

非選擇題詳解:<本解答僅供參考>

一、顯然R為一個以原點為圓心,半徑為2的圓,在Y>=1的部分區域

  依照線性規劃,x+y的極值必出現在此區域邊線上

  則:
  在Y=1的邊線上,x+y最大值為最右端的點,
  座標為(√3,1),x+y=√3+1
 
   最小值為最左端的點
  座標為(-√3,1),x+y=-√3+1

  
  而在x^2+y^2=4的邊線上,x+y極值出現在座標(√2,√2),即x+y=2√2
 
  又(2√2)>(√3+1)
  因此最大值為2√2、最小值為 1-√3

 

       補充:如果你觀念夠好,其實你可以想像一條X+Y的直線在座標軸上平行移動,

  越右上角他的值越高,越左下角他的值越低,則最大值即出現在此直線往右上角

  移到區域盡頭的點,會合點即(√2,√2),平移到最左下角會合點極為(-√3,1)



二、
 (1)
 令g(x)=∫f(x) dx  
 依照微積分基本定理 g'(x)=f(x)
  令g'(x)=f(x)=0 得x=1 or 0
  g"(x)=-4x^3+3x^2-2x+1 =>g"(1)=-2 g"(0)=1
 即x=1時候g(x)會有最大值 x=0時候g(x)會有最小值
         
 定積分∫f(x) dx(上底b 下底a)= g(b)-g(a) 要求最大值,令g(b)最大、g(a)最小即可
 即b=1 a=0

 代入g(1)-g(0)即可算得最大值為(13/60)

  (2)
  個人認為直接求解會比較快而直接   
 ∫f(x)dx=(-1/5)x^5+(1/4)x^4-(1/3)x^3+(1/2)x^2+const

  即定積分∫f(x)dx(+c~-c)=(-2/5)c^5-(2/3)c^3
             =-(c^3)( (2/5) c^2 + (2/3) ) 
  顯然c^3>0   (2/5)c^2+2/3>(2/3)>0

 是故此值恆為負值

 
 
----------------------------

綜合觀之,此次數學甲試題,整體程度算是中等。


而且不同於往年,非常注重幾何以及微積分,反倒是數論、多項
式題型都偏少。


個人感覺很多題都必須要有平面圖形概念乃至空間圖形概念,
部分一直都是很重「觀念」且難以「背多分」(套一個背誦的公
式就直接答出)。


館主家教經驗而言,這部分正是學生們的弱項,建議若有教育
者聞此篇文章,可思考「如何以圖形讓學生了解數學」的思維。

 

也歡迎對題目解答過程不了解、或是想要知道認一部分的進階知
識、如何以圖形概念理解題目乃至快速作答。歡迎留言或加館主
MSN告知。更歡迎學界交流。


Creative Commons License
98年大學指考數學科甲試題解答與解題分析DreamYeh製作,以創用CC 姓名標示-非商業性-禁止改作 3.0 台灣 授權條款釋出。

天使 發表在 痞客邦 留言(10) 人氣()