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今天是圓週率日(3/14),因此也有人詢問,如何證明圓週率π為無理數?(或是他是否能用有限數字表示完畢)

以下為證明過程,需有微積分的預備知識,約為高中~大一數學水平

 

來個最簡單的證明:

證明:π為無理數

假設π為有理數,另π=a/b (a,b為整數)

令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!)

先來證明他的積分

則在區間 0 < x < a/b = π

0 < f(x)  < (π^n)(a^n)/(n!)
0 < sin x < 1

兩式相乘可得

 0< f(x)sinx < (π^n)(a^n)/(n!)

取積分區間(0~π)

可得
   0<∫f(x)sinx dx < ∫(π^n)(a^n)/(n!) dx = (π^n)(a^n)/(n!)π
                              ^^常數積分

顯然這個值會隨著n變大而逐漸變小
你可以想像他是π * πa/1  * πa/2 * πa/3 .......*πa/n
只要n取得比πa大「非常多」,後面乘積就會讓此值變小 

=============================================

令:F(x)=f(x)-f"(x)+[f""(x)]-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),
(簡單說就是就不斷微分兩次、然後變換加減符號)

在這邊我們微分
d/(F'(x) sinx - F(x) cosx) dx

= F"(x) sinx + F'(x) cosx - F'(x) cos x + F(x) sinx
             ^^^^^^^^^^^^^^^^^^中間兩項對消
=[ F"(x) + F(x) ] * sinx


但F"(x) + F(x) = 什麼呢?
可簡單代回定義 發現
F(x) + F"(x) = f(x) - F"(x) + F"(x) - F""(x) + F""(x) +....
             = f(x) + (-1)^n f(x) 微分2n+2次


現在我們放輕鬆,說個微分笑話

有一天,二次函數打電話給微分符號, 微分符號拿起電話就說:
喂~~ 喂~~ 喂~~然後二次函數就不見了! !


這笑話推廣是,只要微分符號對n次多項式喊n+1次「喂~」,
對方就會不見!!

因此f(x)僅為x^2n階多項式,被微分喊個2n+2次!就不見了!


也就是F(x) + F"(x) = f(x)

d/(F'(x) sinx - F(x) cosx) dx  = f(x) sinx

===============看得到這行表示你還沒喊「神經病!關電視!」XD=========  

還記得我們剛剛有計算

∫f(x)sinx dx 根據微積分基本定義


∫f(x)sinx dx (0~π) =
                                   π
(F'(x) sinx - F(x) cosx)|   = F(π) + F(0)
                                   0

由於F(x) 為一堆多項式(就算被微分還是多項式喔!)
加減結果,F(0)為整數,F(a/b)仍為整數

兩者為整數結果其實不那麼顯然,這仰賴f(0)=f(a/b)=0的基礎  

 

前面又證明
0 < ∫f(x)sinx dx (0~π) = F(a/b) + F(0)  < (π^n)(a^n)/(n!)π

一個整數會在0~1之間??除非同花贏過Full House!


最後終於得證根本無法把π表示為a/b (a,b皆為整數)

也就是π為無理數,有限數字表示不完

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