天使的咖啡屋

今天是圓週率日（3/14），因此也有人詢問，如何證明圓週率π為無理數？（或是他是否能用有限數字表示完畢）

以下為證明過程，需有微積分的預備知識，約為高中～大一數學水平

來個最簡單的證明：

證明：π為無理數

假設π為有理數，另π=a/b (a,b為整數)

令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!)

先來證明他的積分

則在區間 0 < x < a/b = π

0 < f(x)  < (π^n)(a^n)/(n!)
0 < sin x < 1

兩式相乘可得

 0< f(x)sinx < (π^n)(a^n)/(n!)

取積分區間（0~π）

可得
   0<∫f(x)sinx dx < ∫(π^n)(a^n)/(n!) dx = (π^n)(a^n)/(n!)π
                              ^^常數積分

顯然這個值會隨著n變大而逐漸變小
你可以想像他是π * πa/1  * πa/2 * πa/3 .......*πa/n
只要n取得比πa大「非常多」，後面乘積就會讓此值變小 

=============================================

令：F(x)=f(x)-f"(x)+[f""(x)]-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),
（簡單說就是就不斷微分兩次、然後變換加減符號）

在這邊我們微分
d/(F'(x) sinx - F(x) cosx) dx

= F"(x) sinx + F'(x) cosx - F'(x) cos x + F(x) sinx
             ^^^^^^^^^^^^^^^^^^中間兩項對消
=[ F"(x) + F(x) ] * sinx

但F"(x) + F(x) = 什麼呢？
可簡單代回定義 發現
F(x) + F"(x) = f(x) - F"(x) + F"(x) - F""(x) + F""(x) +....
             = f(x) + (-1)^n f(x) 微分2n+2次

現在我們放輕鬆，說個微分笑話：

有一天，二次函數打電話給微分符號， 微分符號拿起電話就說：
喂~~ 喂~~ 喂~~然後二次函數就不見了! !

這笑話推廣是，只要微分符號對n次多項式喊n+1次「喂～」，
對方就會不見！！

因此f(x)僅為x^2n階多項式，被微分喊個2n+2次！就不見了！

也就是F(x) + F"(x) = f(x)

d/(F'(x) sinx - F(x) cosx) dx  = f(x) sinx

===============看得到這行表示你還沒喊「神經病！關電視！」XD=========  

還記得我們剛剛有計算

∫f(x)sinx dx 根據微積分基本定義

∫f(x)sinx dx (0~π) =
                                   π
(F'(x) sinx - F(x) cosx)|   = F(π) + F(0)
                                   0

由於F(x) 為一堆多項式(就算被微分還是多項式喔！)
加減結果，F(0)為整數，F(a/b)仍為整數

兩者為整數結果其實不那麼顯然，這仰賴f(0)=f(a/b)=0的基礎  

前面又證明
0 < ∫f(x)sinx dx (0~π) = F(a/b) + F(0)  < (π^n)(a^n)/(n!)π

一個整數會在0~1之間？？除非同花贏過Full House！

最後終於得證根本無法把π表示為a/b （a,b皆為整數）

也就是π為無理數，有限數字表示不完