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要研究黎曼猜想之前,一定要先瞭解解析拓延。
 
關於這部分,我們有找到一個非常好的影片來解講這一切神奇的事物
 
 
 
 
這一套思路是這樣演進的,首先定義黎曼函數:
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其實這個含數沒什麼稀奇的,不過就是個對正整數的N次方的倒數求和,然後取無限大項目。
 
這在尤拉時代已經有研究,並精巧計算出

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其中 ζ(2)=1+1/4+1/9+....還讓人熟悉,他就是求任意兩個數,互質的機率
 
但這樣對欲黎曼函數,僅能定義s>1的區塊。這時候我們要拓展到整個複數平面。也就是 例如s=2+i的部分,其實也可以求出一個複數值。方法是相計算出(1/2)^2,在計算出(1/2)^i,後者可以證明是在複數平面的單位圓者。兩者就可求出一個複數值
 
這時候我們終於可以把黎曼函數推廣到整個s>1的複數平面
 
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但做到這樣還是不夠的,我們必須去將之拓展到整個複數平面上(除了s=1),這時候解析拓延就登場了。我們可以從上面那張圖,就由某些規則,畫出左半部部分。
 
但我們這邊可不能亂畫,因為我們要求,拓延出來的複變函數,仍然是各點可解析的。光這個條件,就足以使拓延出來的函數,是唯一的。
 
幸虧這也有定理可以證明:
 

f為一解析函數,定義於複平面C中之一開子集 U,而VC中一更大且包含U之開子集。F為定義於V之解析函數,並使

{\displaystyle \displaystyle F(z)=f(z)\qquad \forall z\in U,}\displaystyle F(z)=f(z)\qquad \forall z\in U,

F稱為f之解析延拓。換過來說,將F函數限制在U則得到原先的f函數。

解析延拓具有唯一性:

V為兩解析函數F1F2連通定義域,並使V包含U;若在U中所有的z使得

F1(z) = F2(z) = f(z),

則在V中所有點

F1 = F2
此乃因 F1 − F2亦為一解析函數,其值於f的開放連通定義域U上為0,必導致整個定義域上的值皆為0。此為全純函數惟一性定理的直接結果。
 

 
是故針對
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結果,我們也可以解析拓延到整個複數平面。這時候我們要注意,解析拓延後,就不能用直觀的求和公式去求和,否則你代入s=-1進去,可以得到ζ(-1)=1+2+3+4..... = -1/12
 
這顯然不可能,應該說ζ(-1)求和公式不存在,僅能用解析拓延去判斷出函數對應值。
 
 
好,那我們怎麼解析拓延呢?首先我們有ζ函數原本定義在右半平面的形式
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解析拓延後可得積分表示式

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使用分部積分,可得
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引入輔助函數(去除非平凡零點)
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即可發現

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最後黎曼猜想,就是要證明 ξ(s)所有零點,都在Re(s)=1/2上面
 
 
 
 
 
 
 
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  • 訪客
  • ξ(s)所有零點,都在Re(s)=1/2上面...不是零點喔,是non-trivial的零點
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